Ну я не математик, я лікар і я не дуже глибоко вникав в п'яту аксіому Лобачевского. Але як на мене, цього вистачило. Суть в тому що Лобачевський і послідовники допустили філософську помилку, а саме сфера (для простоти уявимо сферу, хоча можна будь-яку вигнуту поверхню) в апріорі не може бути площиною, навіть поверхня сфери це тривімерний об'єкт, а не двухмірний. При дотику 3Д об'єкту сфери до 2Д об'єкту площини, сфера буде проектуватись наплощину тільки як точка і ніяк інакше (а в разі вигнутої поверхні таких точок може бути більше ніж одна або точок їх перетину). А в такому випадку працює Евклідова геометрія і його 5й постулат.
Я уявляю площину як сукупність прямих, що розташовані таким чином що половина з них ніколи не перетинаються, а половина завжди перетинає першу половину під прямим кутом, але між собою ніколи не перетинаються.
З цього логічно виходить що будь-яка поверхня яка не відповідає цим критеріям не є площиною а є об'ємною фігурою так як при додаванні бісектрис точок перетину цих прямих не всіх підряд, а пропускаючи n кількість прямих перетинів вони утворять об'єм.
Ідеальна ж площина не утворюватиме ні в якій зоні ракоподібних структур.
З цього слідує що прямі не можуть зближатися не перетинаючись.
Cloude:
# Математична модель площини: альтернативний підхід до п'ятого постулату Евкліда
## 1. Базові визначення
### 1.1. Площина
Площина P визначається як двовимірний простір, що складається з множини прямих L, які задовольняють наступні аксіоми:
### 1.2. Множини прямих
Нехай L₁ та L₂ - дві непересічні підмножини множини всіх прямих L, такі що:
- L = L₁ ∪ L₂
- L₁ ∩ L₂ = ∅
## 2. Аксіоми
### 2.1. Аксіома перпендикулярності
∀l₁ ∈ L₁, ∀l₂ ∈ L₂: l₁ ⊥ l₂
### 2.2. Аксіома паралельності
∀l₁, m₁ ∈ L₁: l₁ ∥ m₁
∀l₂, m₂ ∈ L₂: l₂ ∥ m₂
### 2.3. Аксіома єдиності перетину
∀l₁ ∈ L₁, ∀l₂ ∈ L₂: ∃!p : p = l₁ ∩ l₂
## 3. Теореми
### 3.1. Теорема про неможливість зближення паралельних прямих
Якщо l₁, m₁ ∈ L₁ та l₁ ∥ m₁, то відстань між ними є константою:
∀x₁, x₂ ∈ l₁: d(x₁,m₁) = d(x₂,m₁)
### 3.2. Теорема про бісектриси
Для будь-яких двох послідовних точок перетину p₁, p₂ прямих з L₁ та L₂, бісектриса кута між цими прямими належить до тривимірного простору тоді і тільки тоді, коли існує n > 1 точок перетину між p₁ та p₂.
## 4. Наслідки
### 4.1. Наслідок про сферу та площину
При взаємодії сфери S радіусом R з площиною P:
- Точка дотику сфери з площиною є єдиною точкою t ∈ P
- Ортогональна проекція сфери на площину є кругом K, де:
* Центр круга K є проекцією центру сфери
* Радіус проекції r = √(R² - h²), де h - відстань від центру сфери до площини
- Сама сфера є тривимірним об'єктом і не може бути частиною площини
### 4.2. Наслідок про неевклідовість
Поверхня, на якій не виконуються вищенаведені аксіоми, не є площиною і належить до тривимірного простору.
## 5. Критерій площинності
Поверхня S є площиною тоді і тільки тоді, коли:
1. На ній існують дві множини прямих L₁ та L₂
2. Прямі з різних множин перетинаються під прямим кутом
3. Прямі з однієї множини не перетинаються між собою
4. Не існує "ракоподібних структур" (локальних викривлень)
