Ну я не математик, я лікар і я не дуже глибоко вникав в п'яту аксіому Лобачевского. Але як на мене, цього вистачило. Суть в тому що Лобачевський і послідовники допустили філософську помилку, а саме сфера (для простоти уявимо сферу, хоча можна будь-яку вигнуту поверхню) в апріорі не може бути площиною, навіть поверхня сфери це тривімерний об'єкт, а не двухмерний. При дотику 3Д об'єкту сфери до 2Д об'єкту площини, сфера буде проектуватись наплощину тільки як точка і ніяк інакше (а в разі вигнутої поверхні таких точок може бути більше ніж одна або точок їх перетину). А в такому випадку працює Евклідова геометрія і його 5й постулат.
Я уявляю площину як сукупність прямих, що розташовані таким чином що половина з них ніколи не перетинаються, а половина завжди перетинає першу половину під прямим кутом, але між собою ніколи не перетинаються.
З цього логічно виходить що будь-яка поверхня яка не відповідає цим критеріям не є площиною а є об'ємною фігурою так як при додаванні бісектрис точок перетину цих прямих не всіх підряд, а пропускаючи n кількість прямих перетинів вони утворять об'єм.
Лобачевський порушив в своїх роздумах один закон логіки, а саме: А чи не А, вірно. Третього не дано.
Цей аргумент рівно приміняєм і до сферичної геометрії і до геометрії Рімана.
